مدخل إلى القطع الذهبي

القطع الذهبي هو النسبة بين عددين او طولين او......... هذه النسبة هي :............. 1.6180339887

يستخدم القطع الذهبي في الفن و التصميم و فن العمارة ,كما وتستخدم هذه النسبة و النسب الناتجه عنها (تكرار ,تقسيم,رفع , اضافة أعداد......................)كعنوان للكمال في الجمال والتناسب, ولها استخدامات في الرياضيات, أبسط الإستخدامات و أبسط تعريف لهذه النسبه هو عندما نقسم مستقيم لقسم كبيروآخر صغير بحيث تكون نسبة القسم الكبير a الى القسم b الصغير .............1,6180339887 ونسبة كامل المستقيم إلى القسم الكبير a هي ايضا نفس النسبه اي...................... 1.6180339887 :

a:b = (a+b):a =1.6180339887...............= Φ

- القطع الذهبي هو عدد (غير منطقي) حيث لايمكن الحصول عليه كناتج لقسمة عديدين طبيعيين.

- المستطيل يسمى مستطيلا ذهبيا إذا كانت نسبة طوله إلى عرضه هي القطع الذهبي.

- الزاويه الذهبيه هي 360 :  .. 1.6180339887= ..........222.492236

اود ان اعرض هنا بعض خصائص هذا العدد الذي سأسميه قذ:

- القطع الذهبي هو عدد جبري (مع انه غير منطقي) لكنه ليس عدد معقد كالعدد الدوري.

-مقلوب القطع الذهبي = (القطع الذهبي - 1 ), ( 1: قذ = قذ -1 ).

- مربع القطع الذهبي = (القطع الذهبي + 1) , ( قذ^2 = قذ + 1)

- تجب الزاويه 36 = نصف القطع الذهبي ,(تجب 36= 0,5 قذ)

-تستطيع الحصول على قيمة الحقيقيه للقطع الذهبي بجمع(1) لجذر ال(5) و تقسيم الناتج على (2)

نستطيع الحصول على الأطوال المتناسبه مع بعضها البعض بمقدار القطع الذهبي بطرق هندسيه مختلفة:

1- لدينا المستقيم ( أ ب)

- إنشاء خط عمودي على المستقيم أ ب في النقطه أ

- تعيين النقطة د على العمود المذكور بمسافة نصف أ ب

- إنشاء المستقيم ب د

- فتح الفرجار بمقدار أ د

- من د وبالفرجار تعيين النقطه ج على المستقيم ب د

- هذا يعني د ج = د أ = نصف أ ب

- تثبيت الفرجار في ب و فتحه بطول ب ج A

- رسم الدائرة حول ب

- نقطة تقاطع هذه الدائرة مع أ ب هي النقطة الذهبية ذ التي تقسم أ ب بطولين نسبة الأكبر إلى الأصغر هي قذ

2-

إنشاء مخمس متساوي الأضلاع (شعار مدرسة فيثاغورث)

في هذا المخمس نسب لاتعد ولا تحصى , اكثرها له علاقه ب قذ

اسهل النسب هي :إذا كان طول ضلع المخمس خ

فإن (خ * قذ) = ق

ق في هذه الحاله هو المستقيم الواصل بين زاويتين داخل المخمس

_______________________________________   ________________-

فيثاغورث و القطع الذهبي

فيثاغورث الذي أخذ من أبيه الصائغ منسارخوس ثلاثة كؤوس فضية ورسالة توصية من بوليكراتس حاكم سومس , وركب سفينة باتجاه مصر طالبا العلم على يد كهنتها أ فضل علماء عصره(القرن السادس ق.م.).

في عين شمس قالت الكهنه أنها لاتستطيع تدريسه و أرسلته الى ممفس حيث أخذت كهنتها كأسا فضية منه وحولته إلى طيبة . تركته كهنة الطيبة سنة منتظرا قبل أن تعطيه علمها وأسرارها . زار بعد دراسته في مصر بابل و الساحل السوري حيث طور علمه وعاد الى سومس و صار معلما لإبن بوليكراتس .مل العمل وهاجر إلى كروتون في الجنوب الأيطالي (كان وقت هجرته في الأربعين من العمر) في كروتون أسس المدرسة الفيثاغورثية التي كانت مدرسة أخوة وعلم وكان هو المعلم فيها.

فيثاغورث كان مؤمنا بأن العدد أساس كل شيء وأن الكون كان في البداية في حالة فوضى حتى أتى الواحد وانتصر مع بقية الأعداد على الفوضى وأعطوا الكون الإنسجام والتلاؤم (الهرمونية).وكان يؤمن أيضا , أنه لبعض هذه الأعداد رتب أعلى من اللأخرى, وفي أعلى الرتب ال 10 وتحتها ال 1, 2, 3, 4 (مجموعهم = 10 ).

اهتم الفيثاغورثيين بالتناسب بين أطوال أوتار القيثاره وبين الهرمونية الناتجة عنه مثل القيم التالية :

1\2 و 2\3 و 3\4 التي تحدد المثمن و المخمس و المربع( في الموسيقا) ومن هنا انطلقوا للإعتقاد بأن الكون بجزئيه المادي و الروحي مرتبط بالإنسجام العددي او ناتجا عنه.

أشهر ماقدمه فيثاغورث للعالم هو مبرهنته ( مربع الوترفي المثلث القائم الزاوية يساوي مجموع مربعي الضلعين القائمين). حسب المورخ الروماني بلوتارخ : سأل فيثاغوث في مصر عن ارتفاع هرم خوفو فأجابته الكهنة : مساحة كل مثلث من مثلثات الهرم الأربعة هي تماما كمساحة المربع الذي ضلعه هو إرتفاع الهرم.

أي إذا اعتبرنا ارتفاع الهرم( H ) و طول قاعدته 2 (b ) و ارتفاع المثلث الجانبي هو(a ) فإن ما قالته الكهنة هو:

H^2 =( a\ 2) (2b) =a . b

لكن a و b مجهولين وبالتالي كان على فيثاغورث ايجاد علاقات رياضة أخرى بين هذه الأطوال وهنا يعتقد أنه برهن نظريته من خلال الشكل 1\1

H +b)^2 =a^2 + 4b (H\ 2 ) =a^2 + 2Hb)

ولكن

H+b)^2 = H^2 +2Hb +b^2)

و بالتالي

a^2 = H^2 + b^2

تقول الحكاية أن فيثاغورث ذبح مئة ثورا كقربان للآلهة وفرح باكتشافه حيث أصبح بإستطاعته الآن كتابة ماقالته الكهنة بالطريقة الآتية:

H^ 2 = a^2 - b^2 = a * b

أي لكي يستطيع أن يعرف إرتفاع الهرم عليه أن يجد عددين ,الفرق بين مربعيهما هو ناتج ضربهما ببعضهما .

من الممكن أن فيثاغورث كان يعرف أن :

a + b) ( a - b ) = a^2 - b^2 )

وبالتالي استطاع أن يكتب

(a * b = (a + b ) (a - b

أو

(a + b ): a = b : (a - b)

ولكن

a^2 - b^2 = a * b

عن طريق ماسبق كان باستطاعة فيثاغورث تشكيل علاقات نسب ذهبيه.

من المكن أيضا ان فيثاغورث عرف عن طريق المصريين أن طول قاعدة الهرم هي 456 أي 6 * 76 ذراع و ارتفاع المثلث الجانبي هو 369 ذراع أي 3 * 123

و بالتالي استطاع أن يعرف أن :

123 * 76 = (تقريبا ) (123 + 76 ) (123 -76)

123 * 76 = ( تقريبا ) 199 * 47 أو

199 : 123 = (تقريبا ) 76 : 47

لاحظ أن 199 = 123 +76 و 123 = 76 +47

وهذا قسم من الأعداد المقدسه :

1, 3, 4, 7 ,11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843............

في أطراف نهاية هذا الترتيب (كل عدد هو ناتج عن مجموع العددين الذين قبله) تكون نسبة العدد على العدد الذي قبله هي القطع الذهبي قذ

...................

هرم خوفو و القطع الذهبي

لم يشعر الإغريق بالضعف إلا أمام المصريين القدماء فالبطالمة هم القسم الإغريقي الوحيد الذي استخدم حضارات غير اغريقيه و عبد آلهه أخرى( مصرية).سبب ذلك هو أن البطالمة وقفوا ضعفاء امام أعمال المصريين وبالذات هرم خوفو. هذا الهرم الذي مازال حتى الآن سرا من أسرار ماوراء الطبيعة ويعتقد الكثيرون بتجسد علوم الرياضيات والفلك و الجمال فيه.

قاعدة الهرم هي مربع طول ضلعه 456 ذراع (الذراع =تقريبا 51 سم), ارتفاع مثلث الوجه هو 369 ذراع وبالتالي فإن ارتفاع الهرم 290 ذراع (تقريبا) وزاوية القاعدة مع الوجه (زاوية الهرم) هي 51,82 (تقريبا).

الشيء العظيم في هذا الهرم وشكله وحتى المعبد (الهرم جزء من معبد طوله- ضعف عرضه- حوالي 1.7 كم)هو أن النسب بين الأطوال و المساحات نتيجة واضحة لإستخدام الأعداد المقدسة و القطع الذهبي.

لاأريدأن أكتب إلا بداية وتعريف لطرف خيط طويل جدا, ومن يطلب المزيد يستطيع أن يجده في مراجع كثيرة.

فرضنا أن ارتفاع المثلث الجانبي هو عا = 369 ذراع = 123 ذ * 3

طول ضلع القاعده 2 ب =456 ذ اي نصفها هو ب = 228 ذ = 76 ذ * 3

عا : ب =( 3 * 123): ( 3 * 76) = (تقريبا القطع الذهبي ) قذ

و بالتالي فإن عا = ب * قذ (تقريبا)

هذا يعني أن مساحة مثلث الوجه هي عا *ب =ب*ب*قذ = ب^2 * قذ

مساحة القاعدة هي 2 ب * 2 ب = 4 ب^2

وهذا يعني أن نسبة مساحة الأربع وجوه ( 4ب^2*قذ ) إلى مساحة القاعدة ( 4 ب^2 ) هي قذ

وأن نسبة مساحة القاعدة والوجوه الأربعة سوية (مساحة الهرم كاملة) هي 4 ب^2 قذ + 4 ب^2

= 4 ب^2 ( 1+ قذ)

ولكن 1 + قذ = قذ^2

و بالتالي فإن مساحة الهرم الكاملة هي 4 ب^2 قذ^2

و نسبة هذه إلى مساحة الوجوه الأربعة :

4 ب^2 قذ^2 :4 ب^ قذ = قذ

هذا يعني أن علاقات الهرم علاقات ذهبية.

زوايا مثلت وجه الهرم هي القاعدة = 58.28 درجة ظلها هو قذ , و الرأس 63.43 درجة ظلها 2

الزاوية بين وجهين متقابلين هي 76.43 درجة, نصفها (الزاوية بين ارتفاع الهرم وارتفاع مثلث الوجه) هي 38.17 درجة = رأس ,ظل رأس=تجب رأس = جذر 1\قذ , جب رأس = 1\قذ .

زاوية القاعدة هي 90 - رأس = 51,82 درجة

أريد أن أقف هنا لأن المتابعة مملة لغير المهتمين , أ ود التذكير فقط أن حجم الهرم 2.6 مليون متر مكعب تقريبا

اي تستطيع من حجارته أن تحيط فرنسا بحائط ارتفاعه 1 متر وسماكته 20 سم

وأن مساحة قاعدته هي حوالي 53000 متر مربع (53 دونم

تمام ورده

المرجع الرئيسي كتاب القطع الذهبي للدكتور أكسل هاوسمان